Lagrangián označme Ľ . Bude roven
Ľ = w L + r K + λ(Q – K ½ . L½.)
První derivace pro jednotlivé proměnné jsou rovny:
Ľ ( K*)½ 2w (L*)½
= w – * 1/2 = 0 * =
L (L*) ½ ( K*)½
Ľ (L*)½ 2 r (K*)½
= r – * 1/2 = 0 * =
K (K*) ½ ( L*)½
Ľ
= Q – (K*)½ (L*) ½ = 0
Z prvých dvou rovnic dostaneme
K* = ( w / r ) . L*
Dosadíme do 3 rovnice za K* a po vyřešení dostaneme L* = ( r / w ) ½ . Q .
Optimální vstup kapitálu je roven K* = ( w / r ) ½ . Q
a hodnota účelové funkce po dosazení za K* a L* je rovna
TC* = 2 ( w . r ) ½. Q.
Tj. objem produktu Q je možno vyrobit s minimálními náklady ve výši TC*.
